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向量的数量积教案 第1篇
s|cosθ,功是一个标量(数量),而力它等于力F和位移s都是矢量(向量),功等于力和位移这两个向量的大小与它们夹角余弦的乘积。这给我们一种启示:能否把功W看成是两向量F和s的一种运算的结果呢,为此我们引入平面向量的数量积。
(二)讲授新课
今天我们就来学习:(板书课题)
平面向量的数量积
一、向量数量积的定义
已知两个非零向量 与 ,我们把数量|
向量的数量积教案 第2篇
b|cos(无法得到,因此另外进行了规定。两个非零向量夹角的概念
已知非零向量a与b,作 =a, =b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a与b的夹角.
, 是记法, 是定义的实质――它是一个实数。按照推理,当 时,数量积为正数;当 时,数量积为零;当 时,数量积为负。
“投影”的概念
定义:|b|cos(叫做向量b在a方向上的投影。
投影也是一个数量,它的符号取决于角(的大小。当(为锐角时投影为正值;当(为钝角时投影为负值;当(为直角时投影为0;当( = 0(时投影为 |b|;当( = 180(时投影为 (|b|. 因此投影可正、可负,还可为零。
根据数量积的定义,向量b在a方向上的投影也可以写成
注意向量a在b方向上的投影和向量b在a方向上的投影是不同的,应结合图形加以区分。
向量的数量积的几何意义:
数量积a(b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos(的乘积.
向量数量积的几何意义在证明分配律方向起着关键性的作用。其几何意义实质上是将乘积拆成两部分: 。此概念也以物体做功为基础给出。 是向量b在a的方向上的投影。
两个向量的数量积的性质:
设a、b为两个非零向量,则
(1) a(b ( a(b = 0;
(2)当a与b同向时,a(b = |a
向量的数量积教案 第3篇
教材分析:
前面已学习了向量的概念及向量的线性运算,这里引入一种新的向量运算——向量的数量积。教科书以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念,既使向量数量积运算与学生已有知识建立了联系,又使学生看到向量数量积与向量模的大小及夹角有关,同时与前面的向量运算不同,其计算结果不是向量而是数量。
在定义了数量积的概念后,进一步探究了两个向量夹角对数量积符号的影响;然后由投影的概念得出了数量积的几何意义;并由数量积的定义推导出一些数量积的重要性质;最后“探究”研究了运算律。
教学目标:
(一)知识与技能
掌握数量积的定义、重要性质及运算律;
能应用数量积的重要性质及运算律解决问题;
了解用平面向量数量积可以解决长度、角度、垂直共线等问题,为下节课灵活运用平面向量数量积解决问题打好基础。
(二)过程与方法
以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念,从数与形两方面引导学生对向量数量积定义进行探究,通过例题分析,使学生明确向量的数量积与数的乘法的联系与区别。
(三)情感、态度与价值观
创设适当的问题情境,从物理学中“功”这个概念引入课题,开始就激发学生的学习兴趣,让学生容易切入课题,培养学生用数学的意识,加强数学与其它学科及生活实践的联系。
教学重点:
平面向量的数量积的定义;
用平面向量的数量积表示向量的模及向量的夹角。
教学难点:
平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用。
教学方法:
启发引导式
教学过程:
(一)提出问题,引入新课
前面我们学习了平面向量的线性运算,包括向量的加法、减法、以及数乘运算,它们的运算结果都是向量,既然两个向量可以进行加法、减法运算,我们自然会提出:两个向量是否能进行“乘法”运算呢?如果能,运算结果又是什么呢?
这让我们联想到物理中“功”的概念,即如果一个物体在力F的作用下产生位移s,F与s的夹角是θ,那么力F所做的功如何计算呢?
我们知道:W=|F
向量的数量积教案 第4篇
教材分析:
教科书以物体受力做功为背景,引出向量数量积的概念,功是一个标量,它用力和位移两个向量来定义,反应在数学上就是向量的数量积。
向量的数量积是过去学习中没有遇到过的一种新的乘法,与数的乘法既有区别又有联系。教科书通过“探究”,要求学生自己利用向量的数量积定义推导有关结论。这些结论可以看成是定义的直接推论。
教材例一是对数量积含义的直接应用。
学情分析:
前面已经学习了向量的概念及向量的线性运算,这里引入一种新的向量运算——向量的数量积,教科书以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念,既使向量数量积运算与学生已有知识建立了联系,又使学生看到数量积与向量模的大小有及夹角有关,同时与前面的向量运算不同,其计算结果不是向量而是数量。
三维目标:
(一)知识与技能
1、学生通过物理中“功”等实例,认识理解平面向量数量积的含义及其物理意义,体会平面向量数量积与向量投影的关系。
2、学生通过平面向量数量积的3个重要性质的探究,体会类比与归纳、对比与辨析等数学方法,正确熟练的应用平面向量数量积的定义、性质进行运算。
(二)过程与方法
1、学生经历由实例到抽象到抽象的的数学定义的形成过程,性质的发现过程,进一步感悟数学的本质。
(三)情感态度价值观
1、学生通过本课学习体会特殊到一般,一般到特殊的数学研究思想。
2、通过问题的解决,培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力;培养学生的交流意识、合作精神;培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力.
四、教学重难点:
1、重点:平面向量数量积的概念、性质的发现论证;
2、难点:平面向量数量积、向量投影的理解;
五、教具准备:多媒体、三角板
六、课时安排:1课时
七、教学过程:
(一)创设问题情景,引出新课
问题:请同学们回顾一下,我们已经研究了向量的哪些运算?这些运算的结果是什么?
新课引入:本节课我们来研究学习向量的另外一种运算:平面向量的数量积的物理背景及其含义
新课:
1、探究一:数量积的概念
展示物理背景:视频“力士拉车”,从视频中抽象出下面的物理模型
背景的第一次分析:
问题:真正使汽车前进的力是什么?它的大小是多少?
答:实际上是力 在位移方向上的分力,即 ,在数学中我们给它一个名字叫投影。
“投影”的概念:作图
定义:| |cos(叫做向量 在 方向上的投影.投影也是一个数量,不是向量;
2、背景的第二次分析:
问题:你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?
分析: 用文字语言表示即:力对物体所做的功,等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积;功是一个标量,它由力和位移两个向量来确定。这给我们一种启示,能否把“功”看成是这两个向量的一种运算结果呢?
平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量 与 ,它们的夹角是θ,则数量|
向量的数量积教案 第5篇
一、教学内容分析
1、教学主要内容
(1)平面向量数量积及其几何意义
(2)用平面向量处理有关长度、角度、直垂问题
2、教材编写特点
本节是必修4第二章第3节的内容,在教材中起到层上启下的作用。
3、教学内容的核心教学思想
用数量积求夹角,距离及平面向量数量积的坐标运算,渗透化归思想以及数形结合思想。
4、我的思考
本节数学的目标为让学生掌握平面向量数量积的定义,及应用平面向量数量积的定义处理相关夹角距离及垂直的问题。因此,让学生们学会把数学问题转化到图形中,及能在图形中把图形转化成相关的数学问题尤其重要。
二、学生分析
1、在学平面向量的数量积之前,学习已经认识并会找向量的夹角,及用坐标表示向量的知识。因此,对于a·b=∣b∣︳a︴cosθ(θ=),容易进行相应的简单计算,但对于理解这个式子上存在一定的问题,因此,需把a·b=∣a∣∣b∣ cosθ转化到图形
a·b=∣OM∣·∣OB∣=∣b∣cosθ∣a∣
即a·b=∣a∣∣b∣cosθ理解并记忆。
对于cosθ= ,等的变形应用,同学们甚感兴趣。
2、我的思考
对于基础薄弱的学生而言,学习本节知识,在处理例题成练习上,计算量不易过大。
三、 学习目标
1、知识与技能
(1)掌握平面向量数量积及其几何意义。
(2)平面向量数量积的应用。
2、过程与方法
通过学生小组探究学习,讨论并得出结论。
3、情感态度与价值观
培养学生运算推理的能力。
四、教学活动
内容 师生互动 设计意图 时间 1、课题引入 师:请同学请回忆我们所学过的相关同里的运算。
生:加法、减法,数乘
师:这些运算所得的结果是数还是向量。
生:向量。
师:今天我们来学习一种有关向量的新的运输,数里积(板书课题) 由旧知引出新知,让学生知道我们学习是层层深入,知识永不止境,从而把学生引入到新的课程学习中来。 3min 2、平面向里的数量积定义 师:平面向星数量积(内积或点积)的定义:
已知两个非零向星a·b,它们的夹角是θ,则数量∣a∣·∣b∣cosθ叫a与b的数量积,记作a·b,即a·b=∣a∣∣b∣cosθ,注:①a·b≠a×b≠ab
②O与任何向量的数里积为O。 直接给出定义,可以让学习对新知识的求知数得到满足,并对新知识的探究有一个方向性。 5min 3、几何意义 师:同学们猜想
a·b=∣a∣∣b∣cosQ
用图怎么表示
生:a·b=∣a∣·∣b∣cosθ
=∣OM∣·∣OB∣
师:数里积a·b等于a的长度与b在a方向上的投影∣b∣cosθ的面积。
师:请同学们讨论数量积且有哪些性质
通过自己画图培养学生把问题转化到图形上,到图形上解决问题的能力。
5min 性 质 师:同学们a·b为非零向果,a·b=∣a∣·∣b∣cosθ。当θ=0°,90°,180°时,a·b有什么性质呢。
生:①当θ=90°时
a·b= a·b=∣a∣·∣b∣cosθ
②当a与b同向时
即θ= 0° ,则a·b=∣ a∣·∣b∣
当a与b反向时,
即θ= 180°,则a·b=∣ a∣·∣b∣
特别a·a=∣ a∣2 成 ∣ a∣= a·a
③∣a∣·∣b∣≤∣ a∣ ∣b∣
学生自己的探究性质,体会并深入理解向里数量的运算性质。 8min 生:①a·b= b·a(交换)
②(λa)·b=λ (a·b)